Question

6．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求動點A的軌跡M的方程；
（Ⅱ）P為軌跡M上動點，△PBC的內(nèi)切圓面積為S₁，外接圓面積為S₂，當(dāng)P在M上運動時，求$\frac{S_2}{S_1}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）動點A滿足橢圓的定義，由此能求出動點A的軌跡M滿足的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），△PBC的內(nèi)切圓為⊙O₁，半徑為r₁；△PBC的外接圓為⊙O₂，半徑為r₂，推導(dǎo)出${r_1}=\frac{{|{y_0}|}}{3}$，${O_2}（0，\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）$，從而$\frac{r_2}{r_1}=\frac{{|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|}}{{\frac{{|{y_0}|}}{3}}}=\frac{9}{2y_0^2}+\frac{1}{2}$，由此能求出$\frac{S_2}{S_1}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，動點A滿足橢圓的定義（1分）
所以，有|F₁F₂|=|BC|=2c=2，|AF₁|+|AF₂|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）
且a²=b²+c²解得$a=2，b=\sqrt{3}$（3分）
所以，動點A的軌跡M滿足的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，（y≠0）$（4分）
沒有寫出y≠0或x≠±2扣（1分）
（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀），△PBC的內(nèi)切圓為⊙O₁，半徑為r₁；△PBC的外接圓為⊙O₂，半徑為r₂，
∵$\frac{1}{2}（4+2）{r_1}=\frac{1}{2}×2×|{y_0}|$，∴${r_1}=\frac{{|{y_0}|}}{3}$，（6分）
線段PB的垂直平分線方程為$y-\frac{y_0}{2}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}-1}}{2}）$（7分）
又線段BC的垂直平分線方程為x=0，
兩條垂線方程聯(lián)立求得$y=（-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}）（-\frac{{{x_0}-1}}{2}）+\frac{y_0}{2}=\frac{x_0^2-1}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{2}$（8分）
∵$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，∴$y=\frac{3}{2y}-\frac{y_0}{6}$，
∴⊙O₂的圓心為${O_2}（0，\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）$
∴${r_2}=\sqrt{1+{{（\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}）}^2}}=\sqrt{\frac{9}{4y_0^2}+\frac{y_0^2}{36}+\frac{1}{2}}=|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|$（9分）
∴$\frac{r_2}{r_1}=\frac{{|{\frac{3}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{6}}|}}{{\frac{{|{y_0}|}}{3}}}=\frac{9}{2y_0^2}+\frac{1}{2}$，（10分）
∵$y_0^2≤3$，∴$\frac{r_2}{r_1}≥2$，∴$\frac{S_2}{S_1}≥4$
∴${（\frac{S_2}{S_1}）_{min}}=4$，此時$y_0^2=3$．（12分）
方法不一樣，只要過程正確，答案準(zhǔn)確給滿分

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形內(nèi)切圓與接圓面積之比的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓、直線、圓等知識點的合理運用．