Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{2}{3}$，a₂=2且3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2．
（1）令b_n=a_n-a_n-1，求證：{b_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）為使$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{5}{2}$成立的最小的正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）由3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，變形為：a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+$\frac{2}{3}$．可得b_n+1-b_n=$\frac{2}{3}$，利用等差數(shù)列的定義即可證明．
（2）由（1）可得：a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}n$．利用“累加求和”可得：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=$\frac{n（n+1）}{3}$，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項(xiàng)求和”可得：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$＞$\frac{5}{2}$，解出即可．

解答 （1）證明：∵3（a_n+1-2a_n+a_n-1）=2，變形為：a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+$\frac{2}{3}$．
∵b_n=a_n-a_n-1，∴b_n+1-b_n=$\frac{2}{3}$，
由a₂-a₁=a₁-a₀+$\frac{2}{3}$，
∴$2-\frac{2}{3}$=b₁+$\frac{2}{3}$，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
∴{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公差為$\frac{2}{3}$．
∴b_n=$\frac{2}{3}+（n-1）×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}n$．
（2）解：由（1）可得：a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}n$．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×2+$\frac{2}{3}×3$+…+$\frac{2}{3}n$
=$\frac{n（n+1）}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=3$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=3$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3n}{n+1}$＞$\frac{5}{2}$成立，
則n＞5．
因此為使$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{5}{2}$成立的最小的正整數(shù)n=6．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”方法、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．