Question

7．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-2cos²ωx+1（ω＞0）的圖象上兩個相鄰的最高點之間的距離為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=$\frac{2}{3}$，求cos（$\frac{π}{3}$-4θ）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和輔助角公式化簡，由圖象上兩個相鄰的最高點之間的距離為π，即可得到ω，由此得到單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（θ）=$\frac{2}{3}$，得到$sin（2θ-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$．由此由二倍角公式得到結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinωxcosωx-2{cos^2}ωx+1$
=$\sqrt{3}（2sinωxcosωx）-（2{cos^2}ωx-1）$=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx$=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
由題意知，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
則$\frac{2π}{2ω}=π$，故ω=1．
所以f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]（k∈Z）$．
（Ⅱ）由f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
$f（θ）=\frac{2}{3}$，得$sin（2θ-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$．
$cos（\frac{π}{3}-4θ）=cos（4θ-\frac{π}{3}）=cos2（2θ-\frac{π}{6}）=1-2{sin^2}（2θ-\frac{π}{6}）=1-2×\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$．

點評 本題考查由二倍角公式和輔助角公式，以及數(shù)形結(jié)合，即可得到ω．