Question

17．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，2a₇+a₈=a₉．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，且其前10項為45，則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2^n-1．

Answer 1

分析 設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由2a₇+a₈=a₉．可得a₇$（2+q）={a}_{7}{q}^{2}$，解得q．由數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，且其前10項為45，可得log₂a₁+…+log₂a₁₀=45，即log₂（a₁a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{10}）^{5}$=45，可得a₁a₁₀=2⁹，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，
∵2a₇+a₈=a₉．
∴a₇$（2+q）={a}_{7}{q}^{2}$，化為q²-q-2=0，解得q=2．
∵數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，且其前10項為45，
∴l(xiāng)og₂a₁+…+log₂a₁₀=45，
∴l(xiāng)og₂（a₁a₂•…•a₁₀）=$lo{g}_{2}（{a}_{1}{a}_{10}）^{5}$=45，
可得a₁a₁₀=2⁹，
∴${a}_{1}^{2}$×2⁹=2⁹，a₁＞0．
解得a₁=1．
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1．
故答案為：a_n=2^n-1．

點評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．