Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)為F（1，0），過(guò)F作斜率為k的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線l于P點(diǎn)．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）設(shè)|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|，若$k∈[{\frac{1}{2}{，_{\;}}1}]$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可得到所求方程；
（Ⅱ）由題可知：直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），準(zhǔn)線l的方程為 x=-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)榻裹c(diǎn)F（1，0），
所以$\frac{p}{2}=1$，解得p=2；
（Ⅱ）由題可知：直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），
準(zhǔn)線l的方程為 x=-1．                  
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$|{PA}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_1}+1}），|{PB}|=\sqrt{1+{k^2}}（{{x_2}+1}），|{PF}|=2\sqrt{1+{k^2}}$．  
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$消去y得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
故${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=1$．                          
由|PA|+|PB|=λ|PA|•|PB|•|PF|得，
$（{{x_1}+1}）+（{{x_2}+1}）=2λ（{1+{k^2}}）•（{{x_1}+1}）•（{{x_2}+1}）$，
解得$λ=\frac{1}{{2（{1+{k^2}}）}}$．                                      
因?yàn)?k∈[{\frac{1}{2}，1}]$，所以$λ∈[{\frac{1}{4}，\frac{2}{5}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和拋物線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．