Question

12．已知函數(shù)f_t（x）=-（x-t）²+t（t∈R），設(shè)a＞b，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{a}（x），{f}_{a}（x）≥{f}_（x）}\\{{f}_（x），{f}_{a}（x）＜{f}_（x）}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）-x+a-b有四個零點，則b-a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2-$\sqrt{5}$）
• B． （-∞，2-$\sqrt{5}$）
• C． （-2-$\sqrt{5}$，0）
• D． （2-$\sqrt{5}$.0）

Answer 1

分析 解方程f_a（x）=f_b（x）得交點坐標(biāo)，函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=x+b-a有四個不同的交點，由圖象知，點P在l下方，由此解得b-a的取值范圍．

解答 解：作函數(shù)f（x）的圖象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得，
-（x-a）²+a=-（x-b）²+b，解得x=$\frac{a+b-1}{2}$，
此時y=-（$\frac{a+b-1}{2}$-b）²+b=-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b，
即交點坐標(biāo)為（$\frac{a+b-1}{2}$，-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b），
若y=f（x）-x+a-b有四個零點，
即f（x）-x+a-b=0有四個根，
即f（x）=x+b-a，
分別作出f（x）與y=x+b-a的圖象如圖：

要使函數(shù)y=f（x）-x+a-b有四個零點，
即函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=x+b-a有四個不同的交點．
由圖象知，點P在下方，
所以-（$\frac{a-b-1}{2}$）²+b＜$\frac{a+b-1}{2}$+b-a，
即（$\frac{a-b-1}{2}$）²＞$\frac{a-b+1}{2}$，
設(shè)t=a-b，則t＞0，
則方程等價為$\frac{（t-1）^{2}}{4}$＞$\frac{t+1}{2}$，即t²-4t-1＞0，
即t＜2$-\sqrt{5}$，或t＞2+$\sqrt{5}$，
∵t＞0，
∴t＞2+$\sqrt{5}$，
故b-a=-t＜-2-$\sqrt{5}$，
即b-a的取值范圍是（-∞，-2-$\sqrt{5}$），
故選：A

點評 本題主要考查根的存在性以及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．