Question

20．如圖，橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，過F₂作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S、T兩點，與拋物線交于C、D兩點，且$\frac{|CD|}{|ST|}=2\sqrt{2}$
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于兩點A，B，設P為橢圓E上一點，且滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$（O為坐標原點），當|AB|＜$\frac{{2\sqrt{5}}}{3}$時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線方程y²=4x得焦點F₂（1，0），設橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，求出C（1，2），D（1，-2），由拋物線、橢圓都關于x軸對稱，能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設AB：y=k（x-2），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識、橢圓性質，結合已知條件能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點F₂與拋物線y²=4x的焦點重合，
∴由拋物線方程y²=4x得焦點F₂（1，0），
∴設橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}+1}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=1}\end{array}\right.$，得C（1，2），D（1，-2），
∵拋物線、橢圓都關于x軸對稱，
∴$\frac{|{F}_{2}C|}{|{F}_{2}S|}$=$\frac{|CD|}{|ST|}$=2$\sqrt{2}$，|F₂S|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴S（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{^{2}+1}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，解得b²=1，
∴a²=1+1=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知直線AB的斜率存在，
設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，解得k²＜$\frac{1}{2}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∵|AB|＜$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴（1+k²）[$\frac{64{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-4•\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$]＜$\frac{20}{9}$，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，∴k²＞$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴$x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{t}$，y=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t}=\frac{1}{t}$[k（x₁+x₂）-4k]=$\frac{-4k}{t（1+2{k}^{2}）}$，
∵點P在橢圓上，∴$\frac{（8{k}^{2}）^{2}}{{t}^{2}（1+2{k}^{2}）^{2}}$+2$•\frac{（-4k）^{2}}{{t}^{2}（1+2{k}^{2}）^{2}}$=2，
∴16k²=t²（1+2k²），∴t²=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=8-$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{8}{3}＜{t}^{2}＜4$，
∴-2＜t＜-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或$\frac{2\sqrt{6}}{3}＜t＜2$，
∴實數(shù)t的取值范圍為（-2，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，2）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、向量知識、橢圓性質的合理運用．