Question

13．證明：f（x）=x²+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析 利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 證明：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₂x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）
=${x}_{2}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-（${x}_{1}^{2}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=${x}_{2}^{2}$-${x}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）
=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}*{x}_{2}}$
=（x₂-x₁）（x₁+x₂-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）
=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$
而由題設可知x₂-x₁＞0，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴=（x₂-x₁）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題主要考察學生利用定義法證明和判斷函數(shù)的單調(diào)性，要注意答題的規(guī)范性．