Question

10．已知函數(shù)f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（II）討論f（x）在[${\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}}$]上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）根據(jù)2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求得f（x）在$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$上的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（${\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}{cos^2}$x=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}$=π，最大值為1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）當x∈$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$ 時，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故當0≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$時，即x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]時，f（x）為增函數(shù)；
當$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤π時，即x∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時，f（x）為減函數(shù)．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．