Question

19．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0．
則下列命題中，正確的為①②④ （把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）
①f（2）=0；②直線x=-4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上為增函數(shù)；④函數(shù)y=f（x）在[-6，6]上有四個零點(diǎn)．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，我們令x=-2，可得f（-2）=f（2）=0，進(jìn)而得到f（x+4）=f（x）恒成立，再由當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，我們易得函數(shù)在區(qū)間[0，2]單調(diào)遞增，然后對題目中的四個結(jié)論逐一進(jìn)行分析，即可得到答案．

解答 解：①：對于任意x∈R，都有f （x+4）=f （x）+f （2）成立，
令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f （2），又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（2）=0．
②：由（1）知f （x+4）=f （x），所以f（x）的周期為4，
又因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x+4）=f（-x），
而f（x）的周期為4，所以f（x+4）=f（-4+x），f（-x）=f（-x-4），
所以：f（-4-x）=f（-4+x），所以直線x=-4是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸．
③：當(dāng)x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時(shí)，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
所以函數(shù)y=f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，
因?yàn)閒（x）是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）在[-2，0]上為減函數(shù)
而f（x）的周期為4，所以函數(shù)y=f（x）在[-6，-4]上為減函數(shù)．
④：f（2）=0，f（x）的周期為4，
所以：f（-6）=f（-2）=f（2）=f（6）=0
函數(shù)y=f（x）在[-6，6]上有四個零點(diǎn)．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，函數(shù)的零點(diǎn)，解答的關(guān)鍵是根據(jù)已知，判斷函數(shù)的性質(zhì)，分析題目中相關(guān)結(jié)論的正誤．屬于基礎(chǔ)題．