Question

6．已知圓C：x²+y²-x-y=0經(jīng)過(guò)橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F和上頂點(diǎn)D．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（-2，0）作斜率不為零的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AF，BF分別交橢圓E于點(diǎn)G，H，設(shè)$\overrightarrow{AF}$=λ₁$\overrightarrow{FG}$，$\overrightarrow{BF}$=λ₂$\overrightarrow{FH}$．（λ₁，λ₂∈R）
（i）求λ₁+λ₂的取值范圍；
（ii）是否存在直線l，使得|AF|•|GF|=|BF|•|HF|成立？若存在，求l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在圓C：x²+y²-x-y=0中，令y=0，得F（1，0），求得c，解出橢圓方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)直線的斜率為k，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），根據(jù)條件列出關(guān)于y的一元二次方程，再設(shè)設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得式求解即可．
（ii）|AF|=λ₁|FG|，|BF|=λ₂|FH|即|FG|=$\frac{|AF|}{{λ}_{1}}，|FH|=\frac{|BF|}{{λ}_{2}}$，代入|AF||GF|=|BF||HF|得|AF|²，|BF|²化簡(jiǎn)整理即可．

解答 解：（Ⅰ）在圓C：x²+y²-x-y=0中，令y=0，得F（1，0），即c=1
令x=0，得D（0，1），即b=1
所以a²=b²+c²=2
即橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（Ⅱ）（i）設(shè)直線的斜率為k，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）
∵F（1，0），∴$\overrightarrow{AF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{FG}=（{x}_{3}-1，{y}_{3}）$
由$\overrightarrow{AF}={λ}_{1}\overrightarrow{FG}$，得-y₁=λ₁y₃，即${λ}_{1}=-\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}$
當(dāng)AG與x軸不垂直時(shí)，直線AG的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}（x-1）$
即x=$\frac{（{x}_{1}-1）y+{y}_{1}}{{y}_{1}}$，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，整理得：$（3-{2x}_{1}）{y}^{2}+2{y}_{1}（{x}_{1}-1）y-{y}_{1}^{2}=0$
則有${y}_{1}{y}_{3}=\frac{-{y}_{1}^{2}}{3-2{x}_{1}}$
即$-\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}=3-2{x}_{1}$，∴λ₁=3-2x₁
當(dāng)AG與x軸垂直時(shí)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，λ₁=1，λ₁=3-2x₁也成立
同理，可得，λ₂=3-2x₂
設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得
（2k²+1）2+8k²x+8k²-2=0
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（8{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}+1）（8{k}^{2}-2）＞0}\end{array}\right.$
解得$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$
又${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$
∴λ₁+λ₂=3-2x₁+3-2x₂=6-2（x₁+x₂）=$6+\frac{16{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=14-$\frac{8}{2{k}^{2}+1}$
由$0＜{k}^{2}＜\frac{1}{2}$得，6$＜14-\frac{8}{2{k}^{2}+1}＜10$，即6＜λ₁+λ₂＜10
即λ₁+λ₂的取值范圍是（6，10）
（ii）∵|AF|=λ₁|FG|，|BF|=λ₂|FH|
即|FG|=$\frac{|AF|}{{λ}_{1}}，|FH|=\frac{|BF|}{{λ}_{2}}$
代入|AF||GF|=|BF||HF|得
${λ}_{2}|AF{|}^{2}={λ}_{1}|BF{|}^{2}（*）$
又|AF|²=（1-x₁）²+y₁²=$（1-{x}_{1}）^{2}+1-\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$=2-2${x}_{1}+\frac{1}{2}{x}_{1}^{2}$
同理|BF|²=2-2x²+$\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}$
又∵λ₁=3-2x₁，λ₂=3-2x₂，代入（*）得
（3-2x_2）（2-2x₁+$\frac{1}{2}$${x}_{1}^{2}$）=（3-2x₁）（2-2x₂+$\frac{1}{2}{x}_{2}^{2}$）
化簡(jiǎn)得${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{3}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}$（x₁-x₂）
即$\frac{3}{4}×（-\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}）-\frac{1}{2}×\frac{8{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}=1$
解得k=0，與題設(shè)矛盾，
故不存在直線l，使得|AF|•|GF|=|BF|•|HF|成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，難度較大，思路復(fù)雜，需要有雄厚的基礎(chǔ)．