Question

14．已知命題p函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+x有兩個(gè)極值點(diǎn)；命題q：函數(shù)g（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，則p是q的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 對(duì)于命題p，先求導(dǎo)，在令導(dǎo)數(shù)等于0，得到△=a²-4＞0，求出a的范圍，對(duì)于命題q，根據(jù)冪函數(shù)為增函數(shù)，得到指數(shù)大于0，再根據(jù)條件之間關(guān)系即可判斷．

解答 解：命題p：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+x有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（x）=x²+ax+1=0有不相等的實(shí)根，
∴△=a²-4＞0，
解得-2＜a＜2，
命題q：函數(shù)g（x）=x${\;}^{{a}^{2}-a}$在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴a²-a＞0，
解得a＞0，或a＜1，
∴p推不出q，q推不出p，
∴p是q的既不充分也不必要條件，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值點(diǎn)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，和充分必要條件，屬于中檔題．