Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)到直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，試探究：點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；否則，請(qǐng)說明理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB面積S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】

（Ⅰ）由已知，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求解，再由橢圓的離心率，求得，進(jìn)而可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）法一：設(shè)，，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求得點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而求得點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.

法二：設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；

（Ⅲ）法一：當(dāng)直線OA、直線OB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線OA的斜率為k，聯(lián)立方程組，進(jìn)而求得面積的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求解面積的最小值；

法二：由（Ⅱ），①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，得出面積的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.

（Ⅰ）由已知，）

因?yàn)?/span>故所求橢圓的方程為;

（Ⅱ）法一：設(shè)，，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性知，，因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，故，即

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，解得，

此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離為

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為．

聯(lián)立得：

所以，

由已知，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則，且

故

化簡(jiǎn)得，

故點(diǎn)O到直線AB的距離為綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

法二：（若設(shè)直線方程為，也要對(duì)直線斜率為0進(jìn)行討論）

設(shè)，

①當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，由橢圓對(duì)稱性知x1=-x2，y1=y2，因?yàn)橐?/span>AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，故，即

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，解得，

此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離為

②當(dāng)直線l的斜率不為0，或斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為．

聯(lián)立得：

所以，

故，

即,所以,

所以,

化簡(jiǎn)得，故點(diǎn)O到直線AB的距離為

綜上，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

（Ⅲ）法一：當(dāng)直線OA、直線OB中有一條斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)，易知S=1;

當(dāng)直線OA、直線OB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線OA的斜率為k，

則直線OB的斜率為，由得，

同理故

令，則

故綜上，△AOB面積S的最小值為．

法二：由（Ⅱ），①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，，且點(diǎn)O到直線AB的距離為，

故，

令，則，

因?yàn)?/span>，故．綜上，△AOB面積S的最小值為．