【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的右焦點為F，離心率為，且有3a2＝4b2+1．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F的直線l與橢圓C交于M，N兩點，過點M作直線x＝3的垂線，垂足為點P，證明直線NP經(jīng)過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)．

【答案】（1）1；（2）見解析，定點（2，0）．

【解析】

（1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，結(jié)合條件，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；

（2）求得F的坐標(biāo)，討論直線l不與x軸重合，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達(dá)定理和直線恒過定點的求法，可得所求定點；討論當(dāng)直線l與x軸重合也成立．

（1）由e，所以11，

聯(lián)立方程組，解得a2=3，b2=2，

所以橢圓的方程為1；

（2）證明：由（1）可得F(1，0)，

當(dāng)直線l不與x軸重合時，設(shè)直線l的方程為x=my+1，

聯(lián)立橢圓方程2x2+3y2=6，消去x可得(3+2m2)y2+4my4=0，，

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得y1+y2，y1y2，

且點P(3，y1)，則NP的方程為(x2﹣3)y=(y2﹣y1)(x﹣3)+y1(x2﹣3)，

又x2=my2+1，所以(my22)y=(y2y1)(x3)+my1y22y1（*）

由y1+y2，y1y2可得my1y2=y1+y2，

則（*）式可變形為(my22)y＝(y2y1)(x3)y1+y2．

所以(my2﹣2)y＝(y2﹣y1)(x﹣2)，即直線NP經(jīng)過定點(2，0)．

當(dāng)直線l與x軸重合時，顯然直線NP也經(jīng)過定點(2，0)，

綜上，直線NP經(jīng)過定點(2，0)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中正確的是（ ）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入沒有增加

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉的時間/分鐘

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表；

鍛煉不達(dá)標(biāo)

鍛煉達(dá)標(biāo)

合計

男

女

20

110

合計

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出10人，進行體育鍛煉體會交流，

（i）求這10人中，男生、女生各有多少人？

（ii）從參加體會交流的10人中，隨機選出2人作重點發(fā)言，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，其中.

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點，且弦中點的縱坐標(biāo)為2.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記點，過點作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點）兩點，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（2﹣x），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．當(dāng)x＞1時，2f（x）+（x﹣1）f′（x）＞0，且f（﹣1），則不等式f（x）＜6（x﹣1）﹣2的解集為（ ）

A.（﹣1，1）∪（1，4）B.（﹣1，1）∪（1，3）

C.（，1）∪（1，2）D.（，1）∪（1，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點為，左焦點為，及點，且、、成等比數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率不為的動直線過點且與橢圓相交于、兩點，記，線段上的點滿足，試求（為坐標(biāo)原點）面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知無窮數(shù)列的前項中的最大項為，最小項為，設(shè).

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求數(shù)列的前項和；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖1是直角梯形，，，，，，.以為折痕將折起，使點到達(dá)的位置，且，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形與等邊所在平面互相垂直，，，，分別是線段，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離．

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同步練習(xí)冊答案