Question

12．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F．直線l：2x-y=0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|+|BF|=6，點F到直線l的距離不小于2，則橢圓E的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由題意結合橢圓定義列式求得a，再由F到直線l的距離不小于2求得c的范圍，則橢圓E的離心率的取值范圍可求．

解答 解：如圖，設F′為橢圓的左焦點，連接AF′、BF′，則四邊形AFBF′為平行四邊形，
∴6=|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a，則a=3．
又F（c，0）當直線l：2x-y=0的距離大于等于2，
∴$\frac{|2c|}{\sqrt{5}}≥2$，即c≥$\sqrt{5}$．
∴e=$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴橢圓E的離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）．
故選：B．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查點到直線距離公式的應用，是中檔題．