Question

3．定義在（0，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導函數(shù)，且恒有f′（x）＜-f（x）tanx成立，則（　�。�

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{6}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{6}$）
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$f（1）＞cos1f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 由f′（x）＜-f（x）tanx得[sinxf（x）]′＜0，可知函數(shù)y=sinxf（x）是減函數(shù)，利用單調(diào)性即可判斷．

解答 解：由f（x）＜-f′（x）tanx，得
cosxf（x）+sinxf′（x）＜0，
即[sinxf（x）]′＜0，
∴y=sinxf（x）是減函數(shù)，
則sin$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜sin$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{6}$）．
故選：B．

點評 本題考查了導數(shù)的運用，結合單調(diào)性判斷大小，關鍵是根據(jù)題意構造函數(shù)，是中檔題．