Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}（0≤x≤1）}\\{\sqrt{2x-{x}^{2}}（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）與x軸圍成的面積．

Answer 1

分析 （1）分別求出x∈[0，1]和x∈（1，2]時(shí)f（x）的最大值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)定積分的定義計(jì)算f（x）與x軸圍成的面積即可．

解答 解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=$\sqrt{x}$是單調(diào)增函數(shù)，
此時(shí)當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最大值1；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=$\sqrt{2x{-x}^{2}}$=$\sqrt{1{-（x-1）}^{2}}$＜1；
綜上，f（x）的最大值是1；
（2）f（x）與x軸圍成的面積為
S=${∫}_{0}^{2}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{2}$$\sqrt{2x{-x}^{2}}$dx
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$+$\frac{1}{4}$π×1²
=$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)與定積分的計(jì)算問題，是中檔題．