Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，角A，B，C的大小成等差數(shù)列，向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$），=（cos$\frac{A}{2}$，-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$），f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，
（1）若f（A）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，試判斷三角形ABC的形狀；
（2）若b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，求邊c及S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用已知及等差數(shù)列的性質，三角形內(nèi)角和定理可求B=60°，利用數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應用可求sin（A-60°）=0，結合A的范圍可求A=60°，即可得解．
（2）利用已知及余弦定理可求c，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵A，B，C成等差數(shù)列，可得：2B=A+C，
又∵A+B+C=180°，
∴B=60°．
∵向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{A}{2}$，cos$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$），f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（A）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（A-60°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴可得：sin（A-60°）=0．
∵A∈（0，60°]，可得：A-60°∈（-60°，0]，
∴可得：A=60°，即A=B=C=60°．
∴三角形ABC的形狀為：正三角形．
  （2）∵B=60°，b=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：3=2+c²-2×$\sqrt{2}×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-$\sqrt{2}c$-1=0，
∴解得：c=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，或$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了等差數(shù)列的性質，三角形內(nèi)角和定理，數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題．