Question

8．已知F₁、C、D分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點、上頂點、右頂點，過坐標原點的直線交橢圓E于點A，B，|AF₁|+|BF₁|=4，$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若過M（1，0）且斜率為$\frac{1}{2}$的直線1交橢圓E于P，Q兩點，求△OPQ的面積．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的焦半徑公式可得2a=4，即a=2，設(shè)出焦點和頂點的坐標，運用向量數(shù)量積的坐標表示解方程可得b=1，進而得到橢圓方程；
（2）求出直線l的方程，代入橢圓方程，消去x，解得y，再由△OPQ的面積為S_△OMP+S_△OMQ，運用三角形的面積公式可得．

解答 解：（1）由題意可設(shè)A（m，n），B（-m，-n），
由橢圓的焦半徑公式可得|AF₁|+|BF₁|=4，
即為（a+em）+（a-em）=4，解得a=2，
又F₁（-c，0），C（0，b），D（a，0），
$\overrightarrow{{F}_{1}C}$=（c，b），$\overrightarrow{CD}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{1}C}$•$\overrightarrow{CD}$=2$\sqrt{3}$-1．
即為ac-b²=2c-（4-c²）=2$\sqrt{3}$-1．
解得c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）M（1，0）且斜率為$\frac{1}{2}$的直線1為y=$\frac{1}{2}$（x-1），
代入橢圓方程消去x，可得，8y²+4y-3=0，
解得y₁=$\frac{-1+\sqrt{7}}{4}$，y₂=$\frac{-1-\sqrt{7}}{4}$，
則△OPQ的面積為S_△OMP+S_△OMQ=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{7}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的焦半徑公式和向量的數(shù)量積的坐標表示，同時考查三角形的面積的求法，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點的坐標，屬于中檔題．