Question

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值。

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞）當(dāng)時(shí)，，
（2′）
令=0，解得.（∵）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130855264329.gif" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值。（5′）
（2），，則有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥（10′）
（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130854531501.gif" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則.                        令，得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130856028372.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，=0，取最小值.（12′）
則既
所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130856028372.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以（*）
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解。
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823130856902321.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以方程（*）的解為，即，解得.（14′）