Question

如圖，等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，設(shè)∠AOM=θ（0≤θ≤120°），當(dāng)θ分別為何值時(shí)，

1

OM

+

1

ON

取得最大和最小值，并求出其最大和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專題：解三角形

分析：由正三角形的性質(zhì)和中心O的性質(zhì)可得AO，分別在△AMO和△ANO中利用正弦定理及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵點(diǎn)O是正△ABC的中心，AC=3．
∴AD═AC•sin60°=

3 3

2

，
AO=

2

3

AD=

2

3

×

3 3

2

=

3

．
在△AMO中，由正弦定理可得：

OM

sin∠OAM

=

AO

sin∠AMO

，
∵∠OAM=

π

6

，∴∠AMO=π-

π

6

-θ，
∴sin∠AMO=sin(π-

π

6

-θ)=sin(

π

6

+θ)．
∴OM=

AOsin∠OAM

sin∠AMO

=

3

2sin( π 6 +θ)

，
同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=

3

2sin(θ- π 6 )

，
后∴

1

OM

+

1

ON

=

2sin( π 6 +θ)

3

+

2sin(θ- π 6 )

3

=

4sinθ•cos π 6

3

=2sinθ．
∵0≤θ≤

2π

3

，由過O的直線交AB于M，交AC于N，
可得

π

3

≤θ≤

2π

3

，
因此當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，

1

OM

+

1

ON

取得最大值2．
當(dāng)θ=

π

3

或

2π

3

時(shí)，

1

OM

+

1

ON

取得最小值

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形的性質(zhì)和中心的性質(zhì)、正弦定理及兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．