Question

9．出下列命題：
①命題“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是真命題；
②x≤1且y≤1是“x+y≤2”的充要條件；
③已知f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若?x∈R，f'（x）≥0，則f'（1）＜f（2）一定成立；
④已知a，b都是正數(shù)，且$\frac{a+1}{b+1}$＞$\frac{a}$，則a＜b；
⑤若實數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿足x²+y²≥1的概率為1-$\frac{π}{4}$，
其中正確的命題的序號是（　�。�（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

• A． ①③⑤
• B． ①④⑤
• C． ②⑤
• D． ①③

Answer 1

分析 ①寫出該命題的否定命題，再判斷它的真假性；
②判斷充分性和必要性是否成立即可；
③根據(jù)導(dǎo)函數(shù)能判斷原函數(shù)的單調(diào)性，不能比較f′（1）與f（2）的大��；
④由題意證明a＜b即可；
⑤利用幾何概型的概率計算對應(yīng)的概率值．

解答 解：對于①，命題“?x∈R，使得x²-2x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x²-2x+1≥0”，
由x∈R，x²-2x+1=（x-1）²≥0恒成立，∴①是真命題；
對于②，x≤1且y≤1時，x+y≤2成立，即充分性成立，
x+y≤2時，x≤1且y≤1不一定成立，即必要性不成立，②錯誤；
對于③，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，?x∈R，f'（x）≥0，則f（x）是單調(diào)增函數(shù)，
∴f′（1）與f（2）不能比較大小，③錯誤；
對于④，a，b都是正數(shù)，且$\frac{a+1}{b+1}$＞$\frac{a}$，即為ab+b＞ab+a，∴a＜b，④正確；
對于⑤，實數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿足x²+y²≥1的概率為
P=$\frac{{2}^{2}-π{•1}^{2}}{4}$=1-$\frac{π}{4}$，∴⑤正確．
綜上，正確的命題序號是①④⑤．
故選：B．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，主要是不等式的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及命題的否定和充分必要條件的判斷，是綜合題．