函數(shù)f(x)=2x,對(duì)于20個(gè)數(shù):a1,a2,…,a10;b1,b2,…,b10∈[0,1],且滿足:
10
i=1
f2(ai)=
10
i=1
f2(bi)
,則
10
i=1
f(ai)•f(bi)
10
i=1
f2(ai)
的最小值是( 。
A、
2
5
B、
4
5
C、
6
5
D、1
考點(diǎn):二維形式的柯西不等式
專題:計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:先考慮兩個(gè)數(shù)的情況:m1=2a1,m2=2a2,n1=2b1,n2=2b2,由題意得,m12+m22=n12+n22=r2.m1,m2,n1,n2∈[1,2],設(shè)
x1
=(m1,m2),
x2
=(n1,n2),運(yùn)用向量的夾角公式,當(dāng)取
x1
=(1,2),
x2
=(2,1),
(1,2)•(2,1)
12+22
=
4
5
≤cos<
x1
x2
>≤1.然后再推廣,即可得到最小值.
解答: 解:先考慮兩個(gè)數(shù)的情況:
m1=2a1,m2=2a2,n1=2b1,n2=2b2
由題意得,m12+m22=n12+n22=r2
m1,m2,n1,n2∈[1,2],
設(shè)
x1
=(m1,m2),
x2
=(n1,n2),
f(a1)f(b1)+f(a2)f(b2)
f2(a1)+f2(a2)
=
m1n1+m2n2
m12+m22
,
=
x1
x2
|
x1
|•|
x2
|
=cos<
x1
x2
>,
當(dāng)取
x1
=(1,2),
x2
=(2,1),
(1,2)•(2,1)
12+22
=
4
5
≤cos<
x1
,
x2
>≤1.
推廣:當(dāng)
x1
=(1,1,2,2),
x2
=(2,2,1,1),
即有
2+2+2+2
12+12+22+22
=
4
5
≤cos<
x1
x2
>≤1.

當(dāng)
x1
=(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2),
x2
=(2,2,2,2,2,1,1,1,1,1),
即有
2+2+…+2
12+12+…+22
=
4
5
≤cos<
x1
,
x2
>≤1.
則所求的最小值為
4
5

故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查柯西不等式及運(yùn)用,考查運(yùn)用向量的方法,求最值,注意先從最簡(jiǎn)單的情況考慮,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,若b=2
2
,B=45°,則
a+b+2014c
sinA+sinC+2014sinC
=
 

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如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,AD⊥AB,E是PC的中點(diǎn),PA=BC=2AD=1,AB=2,∠PAB=120°,∠PBC=90°.
(1)求證:DE∥平面PAB;
(2)求證:平面PAD⊥平面PAB;
(3)求三棱錐D-PAC的體積.

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已知函數(shù)f(x)=
1
log
1
2
2x-2
,求函數(shù)定義域.

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已知函數(shù)f(x)=lnx-mx.
(1)設(shè)函數(shù)在x=1處的切線斜率為-2,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知m≥
1
e
,且m,n∈(0,+∞),求證;(mn)e≤em+n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個(gè)幾何體的三視圖如圖,其俯視圖是一個(gè)等邊三角形,則這個(gè)幾何體的體積為( 。
A、
(4+π)
3
3
B、
(8+π)
3
6
C、
(8+π)
3
3
D、(4+π)
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),x∈[-
π
2
,
π
2
],
(1)求證:(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
);
(2)|
a
+
b
|=
1
3
,求2cosx的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|x+3|.
(1)解不等式f(x)<9
(2)若不等式f(x)<|a-2|+1在實(shí)數(shù)R上的解集不是空集,求正數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線y=2x2上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( 。
A、(
7
8
,-
7
4
B、(
7
8
,±
7
4
C、(-
7
4
,
7
8
D、(±
7
4
,
7
8

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同步練習(xí)冊(cè)答案