已知向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），x∈[-
π
2
，
π
2
]，
（1）求證：（
a
-
b
）⊥（
a
+
b
）；
（2）|
a
+
b
|=
1
3
，求2cosx的值．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系
專題：計算題,證明題,平面向量及應用
分析：（1）求出向量a，b的模，由向量垂直的條件，即可得證；
（2）由向量的平方即為模的平方，將原式兩邊平方，化簡，再由向量的數(shù)量積公式，運用兩角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可得到．
解答： （1）證明：由于向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），
則|
a
|=|
b
|=1，
即有（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
a
2-
b
2=0，
則（
a
-
b
）⊥（
a
+
b
）；
（2）解：由于向量
a
=（cos
3x
2
，sin
3x
2
），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），
則|
a
|=|
b
|=1，
a
•
b
=cos
3
2
xcos
x
2
-sin
3
2
xsin
x
2
=cos2x，
由于|
a
+
b
|=
1
3
，
則
a
2+
b
2+2
a
•
b
=
1
9
，
即有2+2cos2x=
1
9
，
則2cos2x=
1
18
，
由于x∈[-
π
2
，
π
2
]，
則2cosx=
1
3
．
點評：本題考查平面向量及運用，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和性質，考查兩角和的余弦公式，考查二倍角的余弦公式，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
4x
4x+2
．
（1）若0＜a＜1，求f（a）+f（1-a）的值；
（2）求f（
1
2009
）+f（
2
2009
）+…+f（
2008
2009
）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓：x2+2y2=a，（a＞0）的左焦點到直線y=x-2的距離為2
2
，求該橢圓的標準方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x，對于20個數(shù)：a1，a2，…，a10；b1，b2，…，b10∈[0，1]，且滿足：
10
i=1
f2(ai)=
10
i=1
f2(bi)，則
10
i=1
f(ai)•f(bi)
10
i=1
f2(ai)
的最小值是（　�。�
A、
2
5
B、
4
5
C、
6
5
D、1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某幾何體的三視圖如圖，其中正（主）視圖中半圓半徑為1，在該幾何體的體積為（　�。�
A、24-3π
B、24-
3
2
π
C、24-
2
3
π
D、46+2π

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，求t的取值范圍；
（3）設f（x）在[t，t+2]上最大值M與最小值m之差為g（t），試求g（t）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設條件p：a≥0；條件q：a2+a≥0，那么p是q的（　　）
A、充分條件
B、必要條件
C、充要條件
D、非充分非必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax2-lnx，其中a＞
1
2
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）設f（x）的最小值為g（a），證明函數(shù)g（x）沒有零點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={f（x）|f（x）=x，x∈[1，5]}與集合B={g(x)|g(x)=
x
2
+1，x∈[1，5]}，設函數(shù)y=max{f（x），g（x）}（即取f（x），g（x）中較大者）．
（1）將y表示為x的函數(shù)；
（2）現(xiàn)從[1，5]中隨之取出一個數(shù)x，在y=max{f（x），g（x）}的映射下，求y∈[
5
3
，3]的概率．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案