【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，邊長為2，為等腰直角三角形，，，，平面平面ABCD.

(1)證明：平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；

(3)棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PBC？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）棱PD上存在一點(diǎn)E，使得平面PBC，且.

【解析】

（1）用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直；

（2）取的中點(diǎn)，連接，得平面，以為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用平面的法向量的夾角求二面角；

（3）假設(shè)棱PD上存在一點(diǎn)E，使得平面PBC，設(shè)，由與平面的法向量垂直求得，如果求不出，說明不存在.

（1）∵平面平面ABCD，，平面平面ABCD，平面ABCD，∴平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接，由于是等邊三角形，所以，由平面平面ABCD，得平面，，

以為軸，為軸，過平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，取，則，，，

平面的一個(gè)法向量為，

，

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為；

（3）假設(shè)棱PD上存在一點(diǎn)E，使得平面PBC，設(shè)，

由（2），，

，又平面的一個(gè)法向量是，

∴，解得，∴.

∴棱PD上存在一點(diǎn)E，使得平面PBC，且.

練習(xí)冊系列答案
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（1）為感謝同學(xué)們對(duì)這項(xiàng)調(diào)查工作的支持，該校利用分層抽樣的方法從樣本的前兩組中抽出6人，各贈(zèng)送一份禮品，并從這6人中再抽取2人，各贈(zèng)送某款智能手機(jī)1部，求獲贈(zèng)智能手機(jī)的2人月薪都不低于1.75萬元的概率；

（2）同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表.

（i）求這100人月薪收入的樣本平均數(shù)和樣本方差；

（ii）該校在某地區(qū)就業(yè)的2018屆本科畢業(yè)生共50人，決定于2019國慶長假期間舉辦一次同學(xué)聯(lián)誼會(huì)，并收取一定的活動(dòng)費(fèi)用，有兩種收費(fèi)方案：

方案一：設(shè)，月薪落在區(qū)間左側(cè)的每人收取400元，月薪落在區(qū)間內(nèi)的每人收到600元，月薪落在區(qū)間右側(cè)的每人收取800元.

方案二：按每人一個(gè)月薪水的3%收��；用該校就業(yè)部統(tǒng)計(jì)的這100人月薪收入的樣本頻率進(jìn)行估算，哪一種收費(fèi)方案能收到更多的費(fèi)用？

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（2）假如這5個(gè)布娃娃中恰有1個(gè)有獎(jiǎng)品，以上問中的作為p的值.已知每次購買布娃娃需要2元，若有中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)?wù)呙看慰傻锚?jiǎng)金15元.以最終獎(jiǎng)金的期望作為決策依據(jù)，是否該買下剩下所有的45個(gè)布娃娃；

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