Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，離心率為

2

2

，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運用橢圓的性質(zhì)：離心率公式，和a，bc的關(guān)系，即可得到方程；
（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立橢圓方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，運用韋達定理和右焦點F在圓內(nèi)部，則

AF

•

BF

＜0，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，化簡即可得到k的范圍．

解答： 解：（1）∵焦距為4，∴c=2，
又e=

2

2

，∴a=2

2

，b=2，
∴標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=

-4k

1+2k2

，x₁x₂=

-6

1+2k2

，
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），
∵右焦點F在圓內(nèi)部，∴

AF

•

BF

＜0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0
∴（1+2k²）

-6

1+2k2

+（k-2）

-4k

1+2k2

+5-

8k-1

1+2k2

＜0
∴k＜

1

8

．
經(jīng)檢驗得k＜

1

8

，時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，

1

8

）．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．