Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：MC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABP的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）通過證明AB⊥平面OMC，然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明MC⊥AB；
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化三棱錐A₁-ABP的體積為三棱錐P-A₁AB的體積，利用已知條件求解即可．

解答： （本小題滿分12分）
解：（I）取AB中點O，連接OM，OC．
∵M為A₁B₁中點，∴MO∥A₁A，又A₁A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB…（2分）
∵△ABC為正三角形，∴AB⊥CO  又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC
又∵MC?平面OMC∴AB⊥MC…（5分）
（Ⅱ）如圖，VA1-ABP=VP-A1BA=

1

3

S△A1BA•d=

1

3

×

1

2

AB•AA1•CO
=

1

3

×

1

2

×4×2

6

×2

3

=8

2

．

點評：本題考查棱錐的體積的求法，直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想．