Question

已知⊙C：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0（a∈R），點(diǎn)P（2，0）．
（1）判斷點(diǎn)P與⊙C的位置關(guān)系；
（2）如果過點(diǎn)P的直線l與⊙C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，求證：|PM|•|PN|為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：本題（1）先將圓的普通方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心和半徑，再通過點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，得到點(diǎn)P在⊙C外；（2）從圓作直線l的垂線，利用弦心距構(gòu)造直角三角形，將|PM|•|PN|轉(zhuǎn)化為|PC|²-r²，計(jì)算得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵⊙C的方程為：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0（a∈R），
∴（x-a）²+（y-8+a）²=2（a-5）²+2，
∴圓心C（a，8-a），半徑r=

2(a-5)2+2

，
∵P（2，0），
∴|PC|²=（2-a）²+（-8+a）²=2a²-20a+68≥r²，
∴點(diǎn)P在⊙C外．
（2）設(shè)過點(diǎn)P的直線l與⊙C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，過圓心C作直線l的垂線，垂足為H，
則|MH|=|NH|，
|PM|=|PH|+|MH|，
|PN|=|PH|-|NH|，
∴|PM|•|PN|=（|PH|+|MH|）•（|PH|-|MH|）
=|PH|²-|MH|²
=|PC|²-|CH|²-|MH|²
=|PC|²-r²
=（2-a）²+（-8+a）²-[2（a-5）²+2]
=16．（定值）．
∴：|PM|•|PN|為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的普通方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．