Question

20．在△ABC中，BC=7，cosA=$\frac{1}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，若動點P滿足$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則點P的軌跡與直線AB、AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為（　�。�

• A． 3$\sqrt{6}$
• B． 4$\sqrt{6}$
• C． 6$\sqrt{6}$
• D． 12$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點軌跡，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面積，從而求出圍成封閉區(qū)域的面積．

解答 解：設$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$．
∴C，D，P三點共線．
∴P點軌跡為直線CD．
在△ABC中，sinA=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．sinC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
由正弦定理得AB=5．
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}×\frac{5}{7}+\frac{1}{5}×\frac{2\sqrt{6}}{7}$=$\frac{12\sqrt{6}}{35}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}$=6$\sqrt{6}$．
∴S_△ACD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=4$\sqrt{6}$．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，正弦定理解三角形，屬于中檔題．