Question

6．已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，且f（-1）=0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-∞，1）∪（0，1）
• C． （0，1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，
∴當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是偶函數(shù)，
即當(dāng)x＜0時，g（x）為增函數(shù)．
∵f（-1）=0，∴g（-1）=g（1）=0，
當(dāng)x＞0時，f（x）＜0等價(jià)為g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＜0，即g（x）＜g（1），此時x＞1，
當(dāng)x＜0時，f（x）＜0等價(jià)為g（x）=$\frac{f（x）}{x}$＞0，即g（x）＞g（-1），此時-1＜x＜0，
綜上不等式的解集為（-1，0）∪（1，+∞），
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．