Question

16．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)f（x）為常函數(shù)，求x的取值范圍．
（Ⅱ）若不等式2f（x）-2|x+1|+x+3a-1＞0對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=2代入f（x），根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出x的范圍即可；
（Ⅱ）根據(jù)2|x-a|+x+3a-1＞0在x∈R恒成立，通過討論x的范圍，去掉絕對值，解關(guān)于x的不等式得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x+1|+|x-2|，
若函數(shù)f（x）為常函數(shù)，則x+1≥0，x-2≤0，
故-1≤x≤2；
（Ⅱ）若不等式2f（x）-2|x+1|+x+3a-1＞0對x∈R恒成立，
即2|x-a|+x+3a-1＞0在x∈R恒成立，
x≥a時(shí)，3x+a-1≥0，解得：x≥$\frac{1-a}{3}$，
x＜a時(shí)，2a-2x+x+3a-1＞0，解得：x＜5a-1，
∴$\frac{1-a}{3}$≤5a-1，解得：a≥$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．