Question

1．設(shè)a，b∈R，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=e^x+ax+b在點(diǎn)（0，1）處的切線與x軸平行．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)一切x∈R，關(guān)于x的不等式f（x）≥（m-1）x+n恒成立，求m+n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)在圖象上一點(diǎn)的切線斜率和函數(shù)在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求出a=-1，而切點(diǎn)在函數(shù)圖象上，從而求出b=0；
（2）根據(jù)上面得出f（x）=e^x-x，求導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可求出該函數(shù)的最小值為1，從而得出1≥[（m-1）x+n]_max，通過(guò)判斷函數(shù)（m-1）x+n的最大值即可討論出m+n的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a；
據(jù)題意f′（0）=1+a=0；
∴a=-1；
∵點(diǎn)（0，1）在函數(shù)f（x）圖象上；
∴f（0）=1+0+b=1；
∴b=0；
即a=-1，b=0；
（2）f（x）=e^x-x；
f′（x）=e^x-1；
∴x＜0時(shí)，f′（x）＜0，x＞0時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=0時(shí)，f（x）取最小值1；
據(jù)題意有1≥（m-1）x+n；
∴1≥[（m-1）x+n]_max；
①若m=1，則1≥n；
∴m+n的最大值為2；
②若m＜1或m＞1時(shí)，則（m-1）x+n在R上無(wú)最大值；
∴m+n無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，函數(shù)在圖象上一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與過(guò)該點(diǎn)切線斜率的關(guān)系，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的方法，理解恒成立問(wèn)題的處理方法．