Question

【題目】如圖所示，橢圓的離心率為，過點作直線交橢圓于不同兩點，．

（1）求橢園的方程；

（2）①設(shè)直線的斜率為，求出與直線平行且與橢圓相切的直線方程（用表示）；

②若，為橢圓上的動點，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②．

【解析】

（1）由求出即可

（2）①設(shè)切線方程為，然后與橢圓的方程聯(lián)立消元，利用得出即可

②要使得四邊形的面積最大，需滿足，兩點到直線的距離之和最大，即兩條切線間的距離最大，然后算出弦長，然后可得四邊形的面積，即可得出答案.

（1）橢圓中，

，，

橢圓的離心率為，解得，

橢圓的方程為．

（2）①設(shè)切線方程為，

代入，可得，

由，可得，故切線方程為．

②要使得四邊形的面積最大，需滿足，兩點到直線的距離之和最大，

即兩條切線間的距離最大．

設(shè)，，直線的方程為，

聯(lián)立整理得，

則，，

故，

故四邊形的面積

，

當(dāng)且僅當(dāng)，且，或，時等號成立．

故所求最大值為．