Question

設(shè)θ是△ABC的一個內(nèi)角，sinθ+cosθ=

1

5

，則雙曲線x²sinθ+y²cosθ=1的離心率e=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于θ是△ABC的一個內(nèi)角，sinθ+cosθ=

1

5

，則兩邊平方得，sinθ＞0，cosθ＜0，令sinθ-cosθ=t（t＞0），求出t，再解方程得到sinθ和cosθ，再由雙曲線方程得到a，b，c，再由離心率公式，即可求得．

解答： 解：由于θ是△ABC的一個內(nèi)角，sinθ+cosθ=

1

5

，
則兩邊平方得，2sinθcosθ=-

24

25

＜0，
則sinθ＞0，cosθ＜0，
令sinθ-cosθ=t（t＞0），
則t²=1-2sinθcosθ=1+

24

25

=

49

25

，
即sinθ-cosθ=

7

5

，
解得sinθ=

4

5

，cosθ=-

3

5

，
則雙曲線x²sinθ+y²cosθ=1
即為：

x2

5 4

-

y2

5 3

=1，即有c²=a²+b²=

35

12

，
則有e=

c

a

=

35 12 5 4

=

21

3

．
故答案為：

21

3

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的求值，考查同角的平方關(guān)系，考查雙曲線的方程和性質(zhì)：離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．