【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(diǎn)(10),橢圓C1過點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).

(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P為拋物線C2準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA,PB,其中A、B為切點(diǎn).

設(shè)直線PAPB的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值;

②若直線AB交橢圓C1C,D兩點(diǎn),SPAB,SPCD分別是PABPCD的面積,試問:是否有最小值?若有,求出最小值;若沒有,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1) 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,橢圓的方程為:,(2)①證明見解析,②有,最小值為

【解析】

(1)利用可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)和點(diǎn)在橢圓上列方程組可求得,從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)①利用△=0以及韋達(dá)定理可得結(jié)論;

②先求出直線過定點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為,即求得最小值,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),聯(lián)立直線與拋物線,利用弦長公式求出,然后求比值,此時(shí)大于,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直接求出可得比值為.從而可得結(jié)論.

(1)因?yàn)閽佄锞C2有相同的焦點(diǎn)(1,0),且頂點(diǎn)為原點(diǎn),所以,所以,

所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,

設(shè)橢圓方程為,則,解得,

所以橢圓的方程為:.

(2)①證明:設(shè),過點(diǎn)與拋物線相切的直線為,

,消去,

由△=,得,

.

②設(shè)

由①得,則,

所以直線的方程為,所以,

,即直線恒過定點(diǎn),

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,

所以,

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,

設(shè),

,消去,

時(shí),△恒成立,

,

消去,△恒成立,

.

所以,

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的方程為,

此時(shí),,,

所以的最小值為.

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男性

女性

合計(jì)

使用

15

5

20

不使用

10

20

30

合計(jì)

25

25

50

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附:

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

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