Question

4．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，焦距是實(shí)軸長的$\sqrt{2}$倍且過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$）
（1）求雙曲線方程；
（2）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（3）在（2）條件下，若M F₂交雙曲線另一點(diǎn)N，求△F₁MN的面積．

Answer 1

分析 （1）求出離心率e，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠2），過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），可得16-10=λ，即可求雙曲線方程；
（2）求出向量坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可證明結(jié)論．
（3）利用M與F₂可得直線方程，求出N的縱坐標(biāo)，然后求解三角形的面積．

解答 解：（1）∵焦距是實(shí)軸長的$\sqrt{2}$倍，
∴e=$\sqrt{2}$，故可等軸設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠2），
∵過點(diǎn)（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，
∴λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6．
（2）證明：由（1）可知：在雙曲線中，a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$．
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-3，-m），
$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-3，-m）．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=+m²=-3+m²．
∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9-m²=6，∴m²=3．
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0．
∴點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（3）由（2）不妨M（3，$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（2$\sqrt{3}$，0），直線M F₂的方程為：y=（-2-$\sqrt{3}$）（x-2$\sqrt{3}$），代入雙曲線方程可得：
消去x可得：（6-4$\sqrt{3}$）y²-4$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$）y+6=0，因?yàn)镸的縱坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，所以N的縱坐標(biāo)為：y₂•$\sqrt{3}{y}_{2}=\frac{6}{6-4\sqrt{3}}$，
解得y₂=-（2+$\sqrt{3}$），
△F₁MN的面積為：$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×（\sqrt{3}+2+\sqrt{3}）$=12+4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．