Question

動點與點的距離和它到直線的距離相等，記點的軌跡為曲線．

(1) 求曲線的方程；

(2) 設(shè)點2,動點在曲線上運動時，的最短距離為，求的值以及取到最小值時點的坐標；

(3) 設(shè)為曲線的任意兩點，滿足(為原點)，試問直線是否恒過一個定點？如果是，求出定點坐標；如果不是，說明理由．

Answer 1

(1) 根據(jù)拋物線的定義可知, 動點的軌跡是拋物線   

所以曲線C的方程為x2=4y；

(2) 設(shè)點T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0)，

|AT|==，

a–2>0，則當y0=a–2時，|AT|取得最小值為2，

2=a–1,  a2–6a+5=0，a=5或a=1 (舍去)，

所以y0=a–2=3，x0=2，所以T坐標為(2, 3)；

(3) 顯然直線OP1、OP2的斜率都必須存在，記為k，，

，解之得P1(,)，同理P2(–4k, 4k2)，

直線P1P2的斜率為，直線P1P2方程為：

整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直線P1P2恒過點(0, 4)