Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n²+4n+1，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式； 
（Ⅱ）設(shè)b_n=2^n-1•（a_n-1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)S_n=n²+4n+1求出a₁的值，然后利用a_n=S_n-S_n-1求出當(dāng)n＞2時(shí)，a_n的表達(dá)式，然后驗(yàn)證a₁的值，最后寫(xiě)出a_n的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)錯(cuò)位想加法即可求出前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=n²+4n+1，a₁=S₁=1²+4+1=6，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²+4n+1-[（n-1）²+4（n-1）+1]=2n+3（n＞1），
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5≠6，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2n+3，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2^1-1•（a₁-1）=5，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=2^n-1•（a_n-1）=2^n-1•（2n+2）=（n+1）2ⁿ，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=5+3×2²+4×2³+5×2⁴+…+（n+1）•2ⁿ，
2T_n=10+3×2³+4×2⁴+5×2⁵+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=-5+3×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{1×（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-1-n•2ⁿ⁺¹，
即T_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
綜上所述T_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{1+n•{2}^{n+1}，n≥2，n∈N}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解和數(shù)列求和，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．