Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)的動點，且A₁F∥平面D₁AE，若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長是2，則F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線段長是

 

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Answer 1

考點：平面的基本性質(zhì)及推論,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點．分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，可證出平面A₁MN∥平面D₁AE，從而得到A₁F是平面A₁MN內(nèi)的直線．由此得到F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線段是線段MN．

解答： 解：設平面AD₁E與直線BC交于點G，連接AG、EG，則G為BC的中點
分別取B₁B、B₁C₁的中點M、N，連接AM、MN、AN，則
∵A₁M∥D₁E，A₁M?平面D₁AE，D₁E?平面D₁AE，
∴A₁M∥平面D₁AE．同理可得MN∥平面D₁AE，
∵A₁M、MN是平面A₁MN內(nèi)的相交直線
∴平面A₁MN∥平面D₁AE，
由此結合A₁F∥平面D₁AE，
∴直線A₁F?平面A₁MN，
∴F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線段是線段MN．
∴F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線段長MN=

2

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故答案為：

2

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點評：本題給出正方體中側(cè)面BCC₁B₁內(nèi)動點F滿足A₁F∥平面D₁AE，求F的軌跡被正方形BCC₁B₁截得的線段長，著重考查了正方體的性質(zhì)，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．