Question

15．已知函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，ω＞0，ϕ∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}$]）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}$]，且當x=$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的表達式，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用三角函數(shù)的周期性和最值求得A、k、ω的值，從而求得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{3}}$]上的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+ϕ）+k的值域為$[{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$，A＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}A+k=\frac{3}{2}\\-A+k=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}A=1\\ k=\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
又$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，∴ω=2，∵當$x=\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．
∴$4×\frac{π}{6}+ϕ=2kπ+\frac{π}{2}$，又$ϕ∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，∴$ϕ=-\frac{π}{6}$，∴$f（x）=sin（{4x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$．
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$（k∈Z），所以f（x）的增區(qū)間為$[{\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）．
（2）因為x∈$[{0，\frac{π}{3}}]$，所以4x-$\frac{π}{6}$∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，
所以sin$（{4x-\frac{π}{6}}）$∈$[{-\frac{1}{2}，1}]$，所以f（x）∈$[{0，\frac{3}{2}}]$，
故f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{π}{3}}]$上的取值范圍是$[{0，\frac{3}{2}}]$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．