Question

5．已知函數(shù)f（x²-1）=log_a$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥log_a（4x+1）．

Answer 1

分析 （1）令t=x²-1（t≥-1）換元，得x²=t+1，代入原函數(shù)可得f（x）的解析式；
（2）把f（x）的解析式代入式f（x）≥log_a（4x+1），然后對a分類討論求得不等式的解集．

解答 解：（1）令t=x²-1（t≥-1），則x²=t+1，
∴由f（x²-1）=log_a$\frac{{x}^{2}}{2-{x}^{2}}$（a＞0且a≠1），得f（t）=$lo{g}_{a}\frac{t+1}{1-t}$，
即f（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$（-1＜x＜1）；
（2）f（x）≥log_a（4x+1）?$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}≥lo{g}_{a}（4x+1）$，
當(dāng)a＞1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}≥4x+1}\\{4x+1＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{4}＜x≤0$或$\frac{1}{2}≤x＜1$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}≤4x+1}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，解得0$≤x≤\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為{x|$-\frac{1}{4}＜x≤0$或$\frac{1}{2}≤x＜1$}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為{x|0$≤x≤\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．