Question

10．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面ADD₁A₁和側(cè)面CDD₁C₁都是矩形，BC∥AD，△ABD是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別為AD，A₁D₁的中點．
（Ⅰ）求證：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）若CF∥平面A₁BE，求棱BC的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD，即可證明：DD₁⊥平面ABCD；
（Ⅱ）證明BE⊥平面ADD₁A₁．即可證明：平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅲ）證明四邊形BCFA₁是平行四邊形，求棱BC的長度．

解答 （Ⅰ）證明：因為側(cè)面ADD₁A₁和側(cè)面CDD₁C₁都是矩形，
所以DD₁⊥AD，且DD₁⊥CD．
因為AD∩CD=D，
所以DD₁⊥平面ABCD．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為△ABD是正三角形，且E為AD中點，
所以BE⊥AD．
因為DD₁⊥平面ABCD，
而BE?平面ABCD，
所以BE⊥DD₁．
因為AD∩DD₁=D，
所以BE⊥平面ADD₁A₁．
因為BE?平面A₁BE，
所以平面A₁BE⊥平面ADD₁A₁．…（10分）
（Ⅲ）解：因為BC∥AD，F(xiàn)為A₁D₁的中點，
所以BC∥A₁F．
所以B、C、F、A₁四點共面．
因為CF∥平面A₁BE，
而平面BCFA₁∩平面A₁BE=A₁B，
所以CF∥A₁B．
所以四邊形BCFA₁是平行四邊形．
所以$BC=F{A_1}=\frac{1}{2}AD=1$．…（14分）

點評 本題考查線面垂直、面面垂直，考查線面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．