Question

12．已知f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于實(shí)數(shù)a的不同取值，試討論y=f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意問(wèn)題等價(jià)為g'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，解出即可，
（Ⅱ）分類(lèi)討論．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出y=f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)得，f'（x）=2x²-4ax-3，
∵f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)為減函數(shù)，
∴f'（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
問(wèn)題等價(jià)為：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）≤0}\\{f′（1）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4a-1≤0}\\{-4a-1≤0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]，
（Ⅱ）當(dāng)a＜-$\frac{1}{4}$時(shí)，f′（-1）=4a-1＜0，f′（1）=-4a-1＞0
∴f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，
當(dāng)a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，f′（-1）=4a-1＞0，f′（1）=-4a-1＜0，
∴f（x）在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，
當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，由（Ⅰ）可知在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)a＜-$\frac{1}{4}$或a＞$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)-$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{4}$時(shí)，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．