Question

有四個命題：
①函數y=

x

-1（x≥0）的反函數是y=（x-1）²（x≥-1）；
②函數f（x）=lnx+x-2的圖象與x軸有兩個交點；
③函數y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

的圖象關于y軸對稱；
④若

1

e

＜x＜1，則（

1

2

）^lnx＞e^lnx＞lnx．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：閱讀型,函數的性質及應用

分析：①求出原函數的值域，解出x，然后將x換為y，y換為x，注明定義域，即可得到反函數；
②令y=lnx+x-2=0，分別畫出y=lnx，y=2-x的圖象，由圖象觀察即可；
③求出定義域，化簡函數式，即可判斷奇偶性，從而得到圖象的對稱性；
④由冪函數的單調性，判斷前兩個的大小，后兩個可令y=lnx-x，通過求導數，求出最值，即可判斷．

解答： 解：①函數y=

x

-1（x≥0）得到y(tǒng)≥-1．解出x=（y+1）²，則反函數為y=（x+1）²（x≥-1），即①錯；
②令y=lnx+x-2=0，分別畫出y=lnx，y=2-x的圖象，
由圖象可知只有一個交點，即②錯；
③函數y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

，首先9-x²≥0即-3≤x≤3，
|x+4|=x+4，|x-3|=3-x，函數化為y=

9-x2

7

，
顯然有f（-x）=f（x），即為偶函數，故圖象關于y軸對稱，
即③正確；
④由于

1

e

＜x＜1，則-1＜lnx＜0，

1

2

＜e，由冪函數的單調性得
（

1

2

）^lnx＞e^lnx，
e^lnx=x，令y=lnx-x，則y′=

1

x

-1，得到x＞1，函數遞減，0＜x＜1，函數遞增，
即x=1函數取極大值，也是最大值，則y≤-1，即lnx＜x成立．即④對．
故答案為：③④

點評：本題考查函數的性質及應用，考查函數的單調性、奇偶性及運用，考查函數的零點問題，及反函數等，屬于基礎題．