Question

17．函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1，給出下列4個(gè)命題：
①在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是減函數(shù)；    
②直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$而得到；
④若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，則f（x）的值域是$[{0，\sqrt{2}}]$．
其中正確命題序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 利用倍角公式結(jié)合輔助角公式化積，然后結(jié)合y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷四個(gè)命題得答案．

解答 解：由f（x）=-2sin²x+sin2x+1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$．
對(duì)于①，由$\frac{π}{8}≤x≤\frac{5π}{8}$，得$\frac{π}{4}≤2x≤\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}$，則f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{8}，\frac{5π}{8}}]$上是減函數(shù)，①正確；    
對(duì)于②，由x=$\frac{π}{8}$，得$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，∴直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，②正確；
對(duì)于③，函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$，得到f（x）=$\sqrt{2}sin2（x+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{2}）=\sqrt{2}cos2x$，
∴命題③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈$[$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$]，則f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]，命題④錯(cuò)誤．
∴正確的命題是①②．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．