【題目】四棱錐中,底面是中心為的菱形,,

1)求證:平面;

2)若直線與平面所成的角為,求二面角正弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)由題意,,又,則平面,則,又,則平面;

2)由題意,直線與平面所成的角即為,設(shè)菱形的邊長為2,取的中點,連接,則平面,以為原點,,,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,利用平面的法向量求解二面角.

1)證明:因為底面是菱形,

,又,且平面,,

平面,∵平面,∴

又∵,平面,

平面;

2)解:由(1)知,平面,

故直線與平面所成的角即為,

設(shè)菱形的邊長為2,由平面幾何知識,

,

的中點,連接,則平面,

為原點,,,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,則

,,

平面的一個法向量為

平面的一個法向量為,

,,

故所求二面角的正弦值為

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【題目】已知拋物線)的焦點F,E上一點到焦點的距離為4.

1)求拋物線E的方程;

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【題目】在“應(yīng)用”的用戶中隨機抽取了100名用戶進行調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

每周使用時間

及以上

4

3

3

7

6

30

6

5

4

4

8

20

合計

10

8

7

11

14

50

1)在每周使用該“應(yīng)用”時間不超過的樣本中,按性別分層抽樣,隨機抽取5名用戶:

①求抽取的5名用戶中男,女用戶各多少人;

②從這5名用戶中隨機抽取2名用戶,求抽取的2名用戶均為男用戶的概率.

2)如果每周使用該“應(yīng)用”超過的用戶認為“喜歡該應(yīng)用”,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“喜歡該應(yīng)用”與性別有關(guān).

參考公式:,其中

下面的臨界值表僅供參考:

0.10

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為,其中為參數(shù),在以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為, 直線的極坐標方程為.

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(2)若是曲線上的動點, 為線段的中點.求點到直線的距離的最大值.

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【題目】已知函數(shù)的圖象與x軸交點為,與此交點距離最小的最高點坐標為.

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(Ⅱ)若函數(shù)滿足方程,求方程在內(nèi)的所有實數(shù)根之和;

(Ⅲ)把函數(shù)的圖像的周期擴大為原來的兩倍,然后向右平移個單位,再把縱坐標伸長為原來的兩倍,最后向上平移一個單位得到函數(shù)的圖像若對任意的,方程在區(qū)間上至多有一個解,求正數(shù)k的取值范圍.

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