Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）若{b_n}是首項(xiàng)為4，公比為

1

2

的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為T_n，求證：當(dāng)t＞6時(shí)，對(duì)任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n．
（2）由已知條件，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出T_n，分別求出T_n的最小值和S_n的最大值，由此能夠證明當(dāng)t＞6時(shí)，對(duì)任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差為-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
∴3a₇=-6，解得a₇=-2，
∵a₇=a₁+6（-1）=-2，解得a₁=4，（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=5-n，（5分）
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(9-n)

2

．（7分）
（2）∵{b_n}是首項(xiàng)為4，公比為

1

2

的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為T_n，
∴T_n=

4[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=8[（1-（

1

2

）ⁿ]，T_m≥T₁=4，（9分）
又∵Sn=

n(9-n)

2

=-

1

2

（n²-9n）=-

1

2

[（n-

9

2

）²-

81

4

]，
∴（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
當(dāng)t＞6時(shí)，對(duì)任意m，n∈N^*，T_m+t＞T₁+6＞10≥S_n，
∴當(dāng)t＞6時(shí)，對(duì)任意n，m∈N^*，S_n＜T_m+t恒成立．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n和的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．