Question

下列命題中，正確的是

 

①平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=（2，0），|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

；
②已知

a

，

b

是平面內(nèi)兩個非零向量，則平面內(nèi)任一向量

c

都可表示為λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R；
③已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈（π，

3π

2

），則

a

⊥

b

；
④O是△ABC所在平面上一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OA

+λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①由已知可求出

a

•

b

，然后根據(jù)|

a

+

b

|=

( a + b )2

，展開即可求解
②由平面向量的基本定理可知，

a

，

b

不能為共線向量
③把等式中

AB

| AB |

+

AC

| AC |

利用向量加法的平行四邊形法則表示，由此式可知直線AP一定通過△ABC的內(nèi)心．

解答： 解：①∵向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=（2，0），|

b

|=1
∴

a

•

b

=|

a

||

b

|cos60°=2×1×

1

2

=1
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

a 2+2 a • b + b 2

=

4+2+1

=

7

故①正確
由平面向量的基本定理可知，只要當(dāng)

a

，

b

是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則平面內(nèi)任一向量

c

都可表示為λ

a

+μ

b

，其中λ，μ∈R，故②錯誤
③∵

a

=（sinθ，

1+cosθ

），

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈（π，

3π

2

）
∴

a

•

b

=sinθ×1+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+

1-cos2θ

=sinθ-sinθ=0
∴

a

⊥

b

，故③正確
∵

OP

=

OA

+λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），λ∈（0，+∞），設(shè)

e1

=

AB

| AB |

，

e2

=

AC

| AC |

=

OA

+λ（

e1

+

e2

）

OP

-

OA

=λ(

e1

+

e2

)
∴

AP

=λ(

e1

+

e2

)
由向量加法的平行四邊形法則可知，以

e1

，

e2

為鄰邊的平行四邊形為菱形，而菱形的對角線平分對角
∴直線AP即為A的平分線所在的直線，即一定通過△ABC的內(nèi)心，故④正確

點(diǎn)評：本題主要考查了命題真假關(guān)系的判斷，解答④的關(guān)鍵是需要知道

a

| a |

是

a

方向上的單位向量