Question

給出下列四個命題
①已知函數f（x）=

1  (x為有理數) 0 (x為無理數)

，則f（x）為偶函數；
②將5封信投入3個郵筒，不同的投法有5³種投遞方法；
③函數f（x）=e^-x•x²在x=2處取得極大值；
④已知函數y=f（x）的圖象在M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，則f（1）+f′（1）=3．
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：由函數的奇偶性定義，判定①正確；
求出將5封信投入3個郵筒中，不同的投法有3⁵種，判定②錯誤；
用導數來研究f（x）的單調性與極值，判定③正確；
求出f（1）、f′（1）的值，計算f（1）+f′（1），判定④正確；

解答： 解：對于①，任取x∈R，若x是有理數，則-x是有理數，∴f（-x）=1=f（x），
若x是無理數，則-x是無理數，∴f（-x）=0=f（x）；
∴f（x）偶函數；∴①正確；
對于②，將5封信投入3個郵筒，每一封信有3種不同的投法，
共有3×3×3×3×3=3⁵種投遞方法，∴②錯誤；
對于③，∵f（x）=e^-x•x²，∴f′（（x）=-x²e^-x+2xe^-x=-x（x-2）e^-x；
∴當x＜0時，f′（x）＜0，f（x）是減函數，
當0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，
當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；
∴x=2時，f（x）取得極大值；∴③正確；
對于④，根據題意得，當x=1時，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，又f′（1）=k=

1

2

；
∴f（1）+f′（1）=

5

2

+

1

2

=3，∴④正確；
綜上，正確的命題是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數的奇偶性的判定，排列與組合的知識，用導數研究函數的單調性與極值研究求函數在某一點處的切線方程問題，是綜合題目．