Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（2）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（3）當a＞-1時，確定函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先確定函數(shù)解析式，求出切點的坐標，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后代入求出f′（3），即為所求的切線斜率，再代入點斜式進行整理即可；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x²-（a+1）x=-9，可得a+1=x+

9

x

，即可求a的最大值；
（3）當a＞-1時，分類討論，確定函數(shù)的極大值與極小值，即可確定函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，
∴f′（x）=x²-（a+1）x+b，
∵導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點，
∴f′（0）=0，
∴b=0，
a=1時，f′（x）=x²-2x，
∴f′（3）=3，
∵f（3）=1，
∴切線方程為3x-y-8=0；
（2）存在x＜0，使得f′（x）=x²-（a+1）x=-9，
∴a+1=x+

9

x

，
∵x＜0，∴x+

9

x

≤-6，
∴a≤-7，
∴a的最大值為-7；
（3）f′（x）=x²-（a+1）x=x[x-（a+1）]．
-1＜a＜0時，f（0）=a＜0，f（a+1）＜0，∴零點1個；
a=0時，f（a+1）＜0，f（

3

2

）=0，f（3）＞0，零點兩個；
a＞0時，f（0）=a＞0，f（a+1）＜0，零點三個．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度中等．